Exemple d'hexagone-réseau sur un triangle rectangle à 45°, coloré sur la grille interactive en ligne fournie par Stone By Stone (mosaicsoftheworld.com), accessible via le lien "Click here (en rouge), Make a Mosaic!", au centre droit de leur page maison.
Ici, j'ai amorcé un hexagone-réseau pythagoricien isocèle, i.e. sur un triangle droit à 45°, pour montrer de quoi ça a l'air (à quoi ça ressemble) et comment on le construit. Le triangle blanc entre les hexagones est le seul espace libre du champ. Ils sont reliés par le sommet, ce qui est la caractéristique de l'hexagone-réseau; chaque sommet est une direction potentielle, il y en a trois. La couleur ou le dessin peut en privilégier un, mais aussi deux ou tous. D'où la grande complexité que celà peut avoir, combiné au talent ou à la science.
Sens alternatif de l'hexagone-réseau de rayon 2½. Comme le carré est une sorte de rectangle, les 2 diagonales sont égales, donc, les hexagones-réseaux aussi quand ils sont orientés suivant l'une ou l'autre.
Une infinité de constructions peut être faite sur une grille trilinéaire, mais l'hexagone-réseau est le seul fil conducteur théorique à 2 dimensions qui permet d'en avoir une idée raisonnée, même si le dessinateur ou l'artiste peut n'en avoir aucune idée. En effet, il ne s'agit que de construire ou imaginer quelque chose dans la grille en le dessinant. Le résultat étant souvent fabuleux et apparemment tridimensionnel, en découvrir la trame hexagonale peut permettre d'en interpréter le sens ou la logique de construction.
Hexagone-réseau gauche orienté sur le rayon 1 horizontal. Le rayon est un des côtés du triangle unique de l'hexagone-réseau qui est sur l' axe. Plus difficile à voir avec 4 couleurs, mais se guider sur les sommets horizontaux par lesquels ils sont connectés, et sur les triangles blancs qui les séparent.
En fait, une grille trilinéaire est un système de coordonnées. Lorsqu'un des angles du triangle est à 90°, c'est le cartésien, et le système est construit sur un champ de rectangles coupés de leurs diagonales, comme ici où elles sont à 45°. Le principe reste le même pour un triangle quelconque, où l'on a des parallélogrammes coupés d'une seule de leurs diagonales, l'autre le dirigeant dans l'autre sens avec un triangle différent. Dans mon exemple, le 45° pythagoricien fait qu'on reste avec le même triangle si on oriente l'hexagone-réseau dans l'autre sens, car on est sur un champ de rectangles, où les diagonales sont égales.
Hexagone-réseau droit orienté sur le rayon 1 vertical. Ils sont connectés par les sommets verticaux et les triangles blancs les séparent.
L'hexagone-réseau, donc, dans de telles coordonnées, n'est qu'un objet représentant les coordonnées comme telles. Un point sur le plan représentant un triangle, on double ce triangle en le fermant parallèlement de l'autre côté de l'hypothénuse, dont l'une des extrémités est au centre de l'hexagone-réseau, ce qui en fait un rectangle en coordonnées cartésiennes et un losange ou parallélogramme dans un système non pythagoricien (pas à 90°). Ce rectangle ou parallélogramme est un des trois parallélogrammes centraux formant l'hexagone-réseau, tous différents mais composés chacun d'une des permutations de 2 côtés du triangle unique, les deux autres étant tranchés par chacun des deux autres côtés, toujours dans le sens de l'axe de l'hexagone-réseau, vers le centre. Une grille bilinéaire, comme ici des carrés, nous donne donc ce triangle unique en choisissant une diagonale, laquelle, par réitération parallèle, transforme la grille en trois coordonnées où se loge naturellement l'hexagone-réseau. C'est son objet propre, tout comme le parallélogramme est celui de la grille bilinéaire. Comme on a 3 parallélogrammes, on peut donc dire qu'une grille trilinéaire peut venir d'une des trois grilles bilinéaires le constituant, ce qui donne 2 alternatives bilinéaires méconnues au quadrillé classique que l'on connaît, semblables mais de sens différents, le parallélogramme de côtés 1 et 2½ tranché dans le sens de la petite diagonale, pour construire le même hexagone-réseau pythagoricien à 45°.
Le losange étant une déformation du carré tout comme le parallélogramme une du rectangle, on peut déduire de cet exemple provenant du carré une construction similaire de l'hexagone-réseau à partir d'un losange, qui aurait donc aussi deux rayons de longueur 1 sans être du tout à 45° pour autant. L'exemple le plus connu est celui composé de deux triangles équilatéraux à l'origine du système de coordonnées trilinéaires équilatéral. Il s'agit de voir les dessins que l'on fait avec ce système pour constater que le réseau d'hexagones en résultant est la plupart du temps relié par les côtés, comme si la connection par les sommets était inconnue. Pourquoi? Je pense que ça vient du problème très ancien de la couverture du champ sans trou; en effet, l'hexagone équilatéral couvre tout le champ de cette façon, mais cette pratique de relier par le côté n'est pas universel car dès qu'on sort du 60° la théorie ne tient plus. Par contre, la connexion par les sommets, elle, où le triangle unique isolé forme un trou entre les hexagones, tient la route partout, autant pour ce système classique à 60°, équilatéral, que pour tout autre originant du losange ou carré, ou de leurs extensions propres en parallélogramme ou rectangle. L'hexagone-réseau est universel, alors que la connexion par les côtés de l'hexagone ne mène nulle part, à part de prouver la couverture totale du champ avec l'hexagone équilatéral, lequel est formé de losanges et triangles tels, ce qui normal et très limité comme théorie. Il est impossible de découvrir la trame de tout dessin ou oeuvre avec la seule connexion par les cotés de l'hexagone formé de 6 triangles identiques, car la théorie de couverture du champ est limitée à un seul cas et les théories associées ou assimilées ont donné lieu à une multitude de manières de couvrir le champ sans lieu commun, ou principe général, comme en a un l'hexagone-réseau, qui fait de la connexion par les sommets le sien propre.
Autrement dit, l'hexagone-réseau est le véritable lieu commun de n'importe quelle couverture du champ, complète ou incomplète. D'ailleurs, il s'apparente fortement au flux vectoriel où il peut représenter adéquatement les flèches en cause, ayant déjà une direction et un sens, définis par la progression ou la fonction en cause. Ce qui montre son caractère très scientifique au delà des applications artistiques ou techniques qu'il peut avoir. En fait, l'hexagone-réseau est une théorie mathématique ou géométrique légitime, associable à n'importe quelle autre, dont ma mécanique hyperbolique algébrique, que je théorise en m'y référant à l'occasion, pour mieux me représenter les mécanismes très complexes qu'elle implique.
Hexagone-réseau gauche orienté suivant chacun de ses rayons, le 2½ à 45° vers la gauche, le 1 verticalement et l'autre 1 horizontalement, constituant les 3 axes des coordonnées trilinéaires qui le caractérisent.
Donc, grille trilinéaire dit système de coordonnées et l'hexagone-réseau est l'objet visuel qui permet d'en voir le sens et la trame. Tout n'est pas si facile cependant lorsqu'il s'agit d'interpréter ou de comprendre un peu un dessin ou une oeuvre. Chaque artiste a sa technique et la complexité des oeuvres fait partie du mystère. L'hexagone-réseau dit seulement comment fonctionne une grille trilinéaire, théoriquement parlant, dans le sens d'objet plutôt que de point comme dans un système de coordonnées habituel. Suivre le point trace la courbe, alors que suivre l'hexagone-réseau peut faire voir la trame des multiples courbes, droites et couleurs d'un dessin ou oeuvre artistique, et même technique ou scientifique. Je pense qu'il n'y a pas de limite à l'interprétation avec l'hexagone-réseau.
L'hexagone-réseau est une expression de moi, ne connaissant pas le terme exact s'il existait lorsque je l'ai découvert en 1995 ou avant. Je n'ai jamais trouvé de travaux scientifiques ou techniques sur ce sujet, si vous en savez quelque chose, faites m'en part en commentaire, ça me fera plaisir..
