Hexagone-réseau - triangle isocèle pythagoricien

Pure flame: tapestry / by Cory Ench - Enchgallery
© Cory Ench, 2004, www.enchgallery.com


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L'Hexagone-réseau est un réseau d'hexagones identiques reliés par le sommet. L'hexagone en cause est formé de six triangles identiques. Ce sont des coordonnées tri-linéaires, en fait, toujours identiques partout, donc, un seul triangle, et l'ensemble de six triangles forme un hexagone, lequel se reproduit dans tout le champ.
Je rencontre quelquefois sur internet des oeuvres avec un hexagone-réseau assez évident. En voici pour le cas du
*triangle isocèle pythagoricien*,
qui n'est autre qu'un quadrillé classique de carrés, muni de diagonales.





Découpage
J'ai découpé le grand hexagone-réseau qu'on voit bien au centre de l'oeuvre, pour bien montrer de quoi il s'agit. Originalement, on avait donc un carrelage de quatre grands carrés, vu de biais, à 45 degrés. Ce qu'on a fait, pour obtenir l'hexagone-réseau, c'est tout simplement de couper deux pointes de deux carrés opposés par le sommet, au niveau de leurs diagonales respectives. Les côtés de l'hexagone-réseau pythagoricien isocèle sont donc formés de la diagonale des carrés en cause, pour deux à l'opposé, et du côté du carré, pour les quatre autres. Le triangle qui forme l'hexagone-réseau, par sa reproduction en six positions différentes à l'intérieur, est tout simplement la moitié du carré en cause; ses côtés sont les deux côtés du carré et sa diagonale.
Il y a aussi un hexagone-réseau identique à l'intérieur, qu'on peut apercevoir facilement, formé à partir de plus petits carrés, dont le côté est la moitié du grand carré actuel. Quand on voit bien celui (l'hexagone-réseau miniature) du centre , il faut comprendre que les autres (qui suivent) commencent en chacun de ses sommets (comme ceux à gauche et à droite dont on ne voit que le début), pour bien suivre le réseau.
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En principe, ces diagonales ne sont pas toutes contigües, ni dans les deux sens en même temps (vers la gauche et vers la droite), mais dans les oeuvres d'art ça peut arriver; il s'agit cependant d'exercer son oeil pour y percevoir l'hexagone-réseau. Après cela, la théorie sera plus facile à comprendre quand je l'aborderai. Les mathématiques de formules sans image ni explication, ce n'est pas mon fort non plus.
Dans d'autres entrées, je mettrai d'autres exemples de types de triangles (pythagoriciens quelconques, isocèles non-pythagoriciens, quelconques seulement et équilatéraux) formant l'hexagone-réseau, quand j'en trouverai.

Mécanique hyperbolique algébrique: schéma de base

En mécanique hyperbolique algébrique, tout triangle a un angle et une trigonométrie (qui sont) fonction de V. V est un ordre arithmétique. Quand on abat un triangle tant de fois, c'est-à-dire descendre l'hypothénuse sur l'axe des x et rajouter une nouvelle hypothénuse, on compte arithmétiquement:
1,2,3 ... n fois,
et entre ces nombres, il y a des nombres fractionaires, qui sont aussi valables, mais algébriquement seulement, car on n'arrêtera pas l'abattement dans le milieu de sa course et voir où est rendu le poteau y du triangle - ça ne marche pas comme ça. C'est vraiment algébrique entre les nombres, ça n'a plus rapport avec la position du poteau - c'est une déduction algébrique.
Si je dis, par exemple, que je fais un abattement de 3 et trois quart, il n'y pas un (quadruple) abattement complet, et donc ce n'est plus un mécanisme comme quand je fais un nombre exact d'abattements, comme 3 ou 4. Cependant, la goniométrie et la trigoniométrie se déduisent exactement comme un abattement complet, l'algèbre est la même.
Alors, si j'ai un angle qui s'appelle
hyperbolique 3 et 3/4 (h_15/4),
sa trigonométrie va être aussi en 3 et 3/4, au même titre que si ça avait été 3 ou 4, ou un nombre quelconque n.
De la même manière que les nombres fractionnaires, les nombres irrationnels s'inscrivent aussi dans la même logique, c'est pourquoi on peut généraliser n en V, qui peut aussi être toute fonction, aussi compliquée soit-elle (mais toujours dans le réel, pas imaginaire).
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Pour trouver l'ordre entre deux angles, il suffit de faire la différence entre leurs cosécantes au carré, respectivement (i.e. la différence de leurs carrés), ce qui nous donne la cosécante (tangente au 3e quadrant si croissant) au carré du circulaire Vième (c_V), entre les deux (ou derrière le plus grand angle comme cas particulier); ces deux angles de base, dont on s'est partis, ce sont l'angle central, t, et l'angle asymptotique, a, dont la coséc est V^1/2. Coséc²t - V est donc l'ordre entre l'angle central et l'angle asymptotique.
Il peut arriver, évidemment, qu'une telle différence soit plus petite que 1, mais on a un cosinus au carré à ce moment-là, au 2e quadrant (ou une tangente au carré au 3e quadrant si c'est croissant), et c'est là qu'on voit que la mécanique hyperbolique algébrique tourne autour du cercle, sans avoir besoin d'utiliser les nombres négatifs. Un cycle complet se fait sur 3 quadrants. On suit l'algèbre des angles et de la trigonométrie, pas celle des axes.
V lui-même est l'ordre entre l'hyperbolique Vième (h_V) et l'angle central (t), ainsi qu'entre l'angle central (t) et le circulaire Vième (c_V); c'est la cosécante au carré de l'angle asymptotique (a), l'ordre initial du système. Si V est croissant, c'est une tangente au carré au 3e quadrant, et s'il est plus petit que 1, c'est soit un cosinus au carré au 2e quadrant ou une tangente au carré au 3e quadrant, dépendant qu'il décroisse ou croisse, respectivement.
Aux 2e et 3e quadrants, l'algèbre n'est pas si simple qu'au premier, parce que le mécanisme d'abattement-rabattement ne s'applique plus ou s'applique différemment (alors que l'algèbre goniométrique et trigonométrique demeure inchangée dans son développement). Il y a aussi des angles qui s'en vont en sens inverse, dans la réalité, même si on veut les contraindre à aller dans le bon sens. Il s'agit de comprendre ces détails techniques, et bien d'autres, pour bien utiliser la mécanique hyperbolique algébrique. La géométrie réelle est complète en elle-même, ce qui semble irrésoluble ne l'est jamais en utilisant la mécanique hyperbolique algébrique de la bonne façon. Tout s'explique, se calcule et se dessine (dans le réel) avec la Mécanique hyperbolique algébrique.
Il s'agit de repousser nos limites, pas transgresser la géométrie réelle. La Mécanique hyperbolique algébrique couvre toute la géométrie réelle, de la plus simple à la plus compliquée.